Специалисты из НОШ «Мозг, когнитивные системы, искусственный интеллект» создали и математически подтвердили метод пороговой обработки, использующий два порога. Этот подход объединяет преимущества традиционных способов – мягкой и жесткой пороговой обработки. Он позволяет более эффективно восстанавливать искаженные шумами сигналы и изображения, что важно для таких областей, как астрономия, медицинская томография и физика плазмы. При этом снижается и дисперсия, и смещение оценок. Результаты исследования были опубликованы в журнале «Информатика и её применения»
Устранение шумов из сигналов и изображений является важной задачей во многих научных и инженерных областях, начиная от астрономических наблюдений и заканчивая медицинской диагностикой. Зачастую исходный сигнал связан с полученными данными посредством линейного преобразования (например, свёртки в томографии), и целью является обращение этого преобразования – реконструкция исходного сигнала на основе зашумлённых данных. Вейвлет-преобразования, применяемые вместе с пороговой обработкой коэффициентов, представляют собой один из наиболее действенных инструментов для решения этой задачи. Традиционные подходы, такие как жесткая и мягкая пороговая обработка, обладают значительными недостатками: первый метод приводит к повышенной дисперсии и появлению артефактов, а второй – к систематической ошибке в оценке.
«При использовании двух порогов, для небольших значений коэффициентов она выступает в роли щадящей обработки, позволяющей эффективно снижать уровень шума, а для больших – проявляет себя как строгий фильтр, сохраняя значимые элементы сигнала», — поясняет Олег Шестаков, профессор кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ.
В данной работе анализируется «firm» пороговая функция (firm shrinkage), использующая два пороговых значения: T₁ и T₂. Коэффициенты, абсолютное значение которых меньше T₁, устанавливаются в ноль, подобно мягкой обработке. Коэффициенты, превышающие T₂, остаются неизменными, аналогично жесткой обработке. В диапазоне между этими значениями применяется линейное сжатие, обеспечивающее плавный переход и уменьшающее дисперсию. Для данного метода разработана несмещённая оценка среднеквадратичного риска – показателя, характеризующего среднюю ошибку восстановления, на основе подхода Стейна.
Автор продемонстрировал, что данная оценка обладает высокой надёжностью и асимптотически соответствует нормальному распределению. Это говорит о том, что при увеличении объёма данных она предоставляет всё более точную информацию о фактической погрешности метода, а её распределение становится всё ближе к нормальному, что позволяет формировать надёжные доверительные интервалы для оценки риска. Кроме того, был разработан алгоритм для определения оптимальных значений порогов T₁ и T₂, позволяющих снизить оценку риска на основе имеющихся данных.
«По словам Олега Шестакова, расчёт предложенной оценки риска основан только на доступных зашумлённых данных, без информации о «настоящем» сигнале. Благодаря этому метод является полностью адаптивным и может быть применён на практике, в частности, в программах для обработки сигналов.
Данный метод можно использовать для анализа астрономических снимков, результатов компьютерной томографии, сигналов электрокардиограммы в кардиологии, а также в области физики плазмы и сейсморазведки. Благодаря сочетанию адаптивности и теоретической проработанности, он представляет собой многообещающую альтернативу традиционным методам подавления шума при решении обратных задач.
В рамках серии исследований автор продолжает разрабатывать и анализировать статистические подходы к решению обратных задач, применяя вейвлет-анализ.