На онлайн-семинаре «Новые классы динамических систем с симметриями, их свойства и приложения», состоявшемся 4 марта 2026 года, лауреаты премии Президента в области науки и инноваций для молодых ученых за 2025 год представили результаты своих исследований. Мероприятие прошло на экспертной площадке Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова «Диалог о настоящем и будущем» под руководством ректора МГУ академика Виктора Антоновича Садовничего.
«Сегодня мы заслушаем весьма содержательный доклад, подготовленный группой исследователей с кафедры, носящей имя выдающегося ученого, академика Анатолия Тимофеевича Фоменко — кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета. Это коллектив талантливых молодых ученых, добившихся значительных результатов в области обобщенных бильярдов. Сейчас мы познакомимся с темой исследования. Данная работа была представлена на соискание премии президента Российской Федерации для молодых ученых и удостоена ее. Мы присутствовали на церемонии награждения, проходившей в Кремле, и я испытывал чувство гордости», — сказал перед началом доклада ректор МГУ академик В.А. Садовничий.
Профессор Виктория Викторовна Ведюшкина выступила с докладом о развитии топологических подходов в теории интегрируемых систем. В фокусе исследования находятся так называемые бильярдные книжки – новый класс систем, позволяющий создавать модели для имитации сложных физических процессов, в частности, движения твёрдых тел.
По словам докладчика, классическая теория, берущая начало в работах Биркгофа, предполагает, что интегрируемых бильярдов – тех, где траекторию движения шара можно точно определить – немного. Тем не менее, новый подход, основанный на топологических инвариантах, созданных академиком А.Т. Фоменко, позволяет увеличить их число путем объединения нескольких бильярдных столов в общую структуру, напоминающую «книгу». Однако проведенное исследование выявило, что не все интегрируемые системы соответствуют данной модели.
«В настоящее время у нас осталось четыре лакуны, которые описывают четыре слоения. Согласно последним полученным результатам, эти слоения не реализуются с помощью бильярдных книжек, ограниченных дугами софокусных квадрик. Это означает, что, с одной стороны, мы построили пример, подтверждающий гипотезу С, а с другой стороны, мы выявили определенное препятствие. Интегрируемые случаи, известные на данный момент, отличаются от интегрируемых бильярдов, в частности, от бильярдных книжек», — отметила В.В. Ведюшкина.
Доклад о развитии топологических методов в механике представил доцент Владислав Александрович Кибкало. Работа продолжает классические традиции школы А.Т. Фоменко и затрагивает известную задачу о волчке Ковалевской, являющуюся одним из трех классических случаев интегрируемости вращения твердого тела.
По словам докладчика, актуальные исследования в данной области связаны с эволюцией от традиционного волчка к его псевдоевклидовым модификациям. В отличие от исходной конструкции, где кинетическая энергия сохраняет положительное значение, в новых системах возникают отрицательные показатели, что существенно влияет на геометрию и топологию движения. Благодаря этому появляется возможность моделирования как замкнутых траекторий, так и режимов, при которых система движется в бесконечности.
Полученные в ходе исследования результаты выявили принципиально новые виды перестроек, которые не связаны с участием критических точек – ситуация, противоречащая классическому анализу. В частности, была строго доказана теорема о компактности совместных уровней интегралов, а на бифуркационной диаграмме определена новая параболическая граница, которая разделяет компактные и некомпактные режимы. «Мы продемонстрировали, что в системе, аналогичной волчку Ковалевской, присутствуют как компактные, так и некомпактные слои, а также некритические бифуркации, которые происходят без снижения ранга отображения момента», — подчеркнул В.А. Кибкало.
В заключение ассистент кафедры дифференциальной геометрии и приложений Глеб Владимирович Белозеров рассказал о результатах, полученных при изучении расширений классической теории бильярдов. В процессе работы теорема Якоби позволила исследователям выйти за рамки привычных условий: геодезический поток сохраняет свой интегрируемый характер на пересечении любого числа невырожденных софокусных квадрик. Кроме того, подобные закономерности были выявлены не только в евклидовом, но и в псевдоевклидовом пространстве, на сферах и в пространстве Лобачевского.
Второй раздел доклада был посвящен известной «теореме о нитке», или теореме Грейвса. Согласно ей, эллипс можно изобразить не только традиционным способом, но и с помощью замкнутой нити, натянутой между фокусами. «Нам удалось расширить эту конструкцию с использованием нитки до пространств с произвольным числом измерений: эллипсоид можно создать, используя нить, если натянуть ее определенным образом. И вновь доказательство этого утверждения основывалось на интегрируемых бильярдах», — сообщил Г.В. Белозеров.