Чтобы изучить глиняную табличку, возраст которой составляет почти четыре тысячи лет, австралийский математик преодолел огромное расстояние. Его усилия оказались вознаграждены: на табличке он обнаружил свидетельство самого раннего применения практической геометрии, что подтвердило его предположения. Изучение вавилонского артефакта также способствовало лучшему пониманию предназначения другого, немного более позднего образца древней культуры.
Доктор Дэниэл Мэнсфилд (Daniel F. Mansfield) из Университета Нового Южного Уэльса (UNSW, Австралия) вместе с коллегами на протяжении многих лет исследует древние артефакты, имеющие отношение к математике. В частности, в 2017 году ему посчастливилось углубить интерпретацию глиняной таблички, которая получила название Plimpton 322. Это вавилонская надпись, которая представляет собой таблицу чисел. Однако это не произвольные числа, а два элемента из трех чисел, составляющих так называемые пифагоровы тройки. С алгебраической точки зрения, пифагоровы тройки – это группы из трех натуральных чисел, которые соответствуют определенному уравнению a2+b2=c2. Для геометрии это ключевой инструмент, позволяющий создавать точные прямоугольные треугольники.
Среди всех существующих толкований цели Plimpton 322 тригонометрическая с момента открытия этого артефакта в 1922 году преобладала. Но команда Мэнсфилда привела наиболее полное обоснование этой теории. Однако оставалось немало вопросов: зачем вообще были нужны такие таблички, было ли их много или это редкий предмет? Поскольку тригонометрия на практике чаще всего применяется либо для навигации, либо землемерами, либо строителями, поиски других подобных артефактов продолжились в довольно определенном направлении.
Археологический детектив
Несколько лет назад Мэнсфилд впервые услышал о табличке Si.427, имеющаяся информация, однако, была недостаточной для детального изучения объекта. Поиск артефакта потребовал проведения масштабного расследования. Он был найден в конце XIX века в Центральном Ираке и перевезён в Имперский музей Константинополя. Сложность заключалась в том, что данное учреждение прекратило своё существование. В результате математику ожидал длительный поиск и общение с представителями турецкого Министерства культуры и различных музеев, чтобы установить местонахождение старой коллекции.
К счастью, в 2018 году фотография Si.427 упала на электронный адрес Мэнсфилда. Непримечательный на первый взгляд артефакт покоился в экспозиции одного из музеев Турции долгие годы. После обязательных бюрократических проволочек австралийскому ученому позволили поработать с древней глиняной табличкой лично и рассмотреть ее детально.
Математику попал старейший из обнаруженных кадастровых документов. Табличка содержала графическое отображение процесса межевания поля, участок которого владелец намеревался продать. Примечательно, что для точного разделения территории применялись прямоугольные треугольники. При этом автор документа не вычислял пифагорову тройку при каждом разделении, а использовал заранее подготовленный набор. По всей видимости, из таблицы, подобной Plimpton 322.
Справочник, которому почти четыре тысячи лет
Мэнсфилд пришел к таким заключениям, так как вычисления этих числовых комбинаций в вавилонской шестидесятеричной системе счисления представляют собой довольно сложную задачу. За исключением, возможно, первых десяти. Но автор Si.427 взял треугольник одного размера, чтобы построить прямой угол и продлить прямые границы участка. А затем от одной из этих границ увеличил исходный треугольник — для чего необходимо пересчитать пифагорову тройку с более крупными значениями. Землемеру такие вычисления необходимо делать часто и быстро, так что либо люди этой профессии в Вавилоне были высококлассными математиками, либо у них были шпаргалки.
По предположению Мэнсфилда и его коллег, Plimpton 322, относящаяся к немного более позднему этапу развития, чем Si.427, — это, по сути, образец подобной шпаргалки. Кто именно был их создателем, предстоит выяснить, но предположение о том, что полевой работник использует заранее рассчитанные квадратные уравнения, представляется вполне обоснованным. В любом случае, даже если назначение глиняной таблички с числовой таблицей окажется иным, суть второго артефакта известна практически без сомнений. Свои выводы ученые детально изложили в статье, опубликованной в журнале Foundations of Science.
Свидетельство древнего имущественного спора
Круглая глиняная табличка Si.427 — является частью обширной группы вавилонских артефактов, обнаруженных в одном и том же районе. Текст повествует о конкретном земельном споре, возникшем между влиятельным жителем города и зажиточной землевладелицей. Для разрешения конфликта местная власть направила землемера на оспариваемый участок, чтобы тот провел своего рода инвентаризацию. Этот процесс и был задокументирован на Si.427.
Следовательно, этот артефакт представляет собой одновременно два древнейших объекта, известных науке. Он является наиболее ранним свидетельством применения прикладной геометрии и старейшим кадастровым документом.
Прототригонометрия
Доктор Мэнсфилд называет вавилонские геометрические открытия «прототригонометрией», и это не является попыткой принизить их значимость, напротив, он выражает восхищение уровнем развития математики в этой цивилизации. Знания в этой области были доступны не только ученым, но и государственным чиновникам, которые использовали сложные тригонометрические расчеты в своей работе. Однако, из-за особенностей их системы счисления, дальнейшее развитие этого направления науки оказалось невозможным.
Древние греки разработали полную систему тригонометрии, что и нашло отражение в названии пифагоровых троек. При этом подобные сочетания чисел были известны еще до жизни великого математика, задолго до VI века до нашей эры.