Исследователи ввели ограничения на решения уравнений, описывающих джозефсоновские контакты, которые являются многообещающими компонентами квантовых компьютеров.
Алексей Глуцюк из НИУ ВШЭ и Игорь Нетай из НПК «Криптонит» применили математическое описание эффекта Джозефсона, который широко используется в сверхчувствительных магнитометрах и кубитах квантовых компьютеров. Впервые в истории изучения данной темы им удалось определить границы языков Арнольда при моделировании физических процессов в джозефсоновских контактах. Кроме того, математики смогли наложить ограничения на род алгебраических кривых, критически важных для вычисления решений уравнений Гойна, — наиболее перспективного на сегодня математического инструмента для анализа поведения джозефсоновских контактов. Соответствующая статья принята к публикации в Journal of Dynamical and Control Systems, а с её препринтом можно ознакомиться на сайте Корнельского университета.
Контакты, в которых сверхпроводник соединен с изолятором, а затем с другим сверхпроводником, получили название джозефсоновские. В таких структурах толщина диэлектрического слоя подбирается таким образом, чтобы его сопротивление исчезало при охлаждении прилегающих сверхпроводящих материалов до рабочей температуры. Суть физического явления заключается в «просачивании» электронов, способных к туннелированию, через диэлектрик.
Эффект Джозефсона представляет собой яркий пример явления, которое не удалось бы ни применить на практике, ни даже полноценно изучить без предварительных теоретических выкладок, в частности, математических моделей. Именно с их помощью Джозефсон предсказал его существование в 1962 году. Наблюдения, свидетельствующие о протекании сверхтока через диэлектрическую прослойку, разделяющую сверхпроводники, фиксировались уже с начала 1930-х годов. Однако, в отсутствие теоретического обоснования, экспериментаторы интерпретировали эти явления как «короткие замыкания сверхпроводников», проводя параллели с короткими замыканиями в обычных цепях. Только применение уравнений, объясняющих, каким образом туннелирование пар куперовских электронов позволяет поддерживать сверхток в джозефсоновском контакте, кардинально изменило подход к изучению этого явления. Таким образом, этот пример демонстрирует, что практическая реализация эффекта без математического базиса изначально была невозможна.
Ток, проходящий через джозефсоновские контакты, обладает высокой чувствительностью к незначительным колебаниям внешнего магнитного поля. Данное свойство находит применение при создании СКВИДов — сверхпроводящих квантовых интерферометров (Superconducting Quantum Interference Device), которые являются ключевым элементом в конструкции многих экспериментальных квантовых компьютеров.
В 2015 году в России (в МФТИ и Российском квантовом центре) были созданы первые кубиты, основанные на джозефсоновских контактах. Исследования свойств этих контактов стали весьма значимыми на практике, поскольку квантовые компьютеры с надежными кубитами способны оказать существенное влияние на криптографию, научные вычисления и развитие искусственного интеллекта.
Изучение математических основ работы джозефсоновских контактов началось еще до того, как они были впервые обнаружены в ходе экспериментов. В 1962 году английский физик Брайан Джозефсон разработал дифференциальное уравнение, которое описывает поведение таких контактов, впоследствии получивших название, связанное с его именем. Его математическая модель использует двупараметрическое семейство обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на двумерном торе – «растянутой» двумерной поверхности, напоминающей трехмерный «бублик»).
У такой модели джозефсоновских контактов существует ряд существенных ограничений: исходные уравнения Джозефсона не обладают явными решениями, по крайней мере, такими, которые можно было бы выразить с помощью элементарных функций, и, насколько известно на сегодняшний день, даже с помощью специальных функций. Это затрудняет описание и прогнозирование ряда свойств, которые наблюдаются у этих контактов в реальных условиях. В отсутствие подобных решений, сложнее создавать на их основе квантовые компьютеры, демонстрирующие предсказуемое поведение когерентных кубитов.
В новой статье авторы опирались на ранее известное положение, установленное в работах других математиков: поведение джозефсоновских контактов и описывающее их уравнение Джозефсона могут быть сведены к трехпараметрическому дважды конфлюэнтному уравнению Гойна. Ранее уже было продемонстрировано, что при определенных значениях исходных параметров в уравнениях Гойна формируются очевидные решения, которые отсутствуют для базового уравнения Джозефсона. Однако, если уравнение Джозефсона можно представить в виде уравнения Гойна, то эти решения могут быть применены к исходному уравнению Джозефсона.
«Игорь Нетай пояснил, что, подобно другим исследованиям, посвященным математическому описанию джозефсоновских контактов, в данном случае анализируется динамическая система, отображаемая на торе. Она характеризуется тремя параметрами: A, B и ω. В новой работе последний параметр был принят за константу».
После преобразования координат уравнение Гойна определяет указанную динамическую систему на торе. При этом физически значимой остается величина числа вращения параметров. При небольших значениях ω (обычно ей соответствует джозефсоновская частота генерации, то есть интенсивность излучения фотонов джозефсоновского контакта, через который протекает ток, превышающий критический), можно перейти от исходной «гладкой» функции, описывающей поведение контакта без дискретизации, к функции, которая выглядит почти как кусочно-ступенчатая, с дискретизацией результата (числа вращения динамической системы). Это позволяет дискретизировать сигнал с джозефсоновского контакта, что имеет большое практическое значение: дискретный сигнал легко измерить, и, следовательно, понять лежащие в его основе физические процессы.
В предыдущих исследованиях было показано, что существуют языки Арнольда – геометрические области фазового захвата, где число вращения динамической системы на торе, характеризующей параметры джозефсоновских контактов, остаётся постоянным. Важно отметить, что область фазового захвата определяется в пространстве параметров, используемых для математического описания джозефсоновских контактов. Однако, такое описание непосредственно связано с поведением этих контактов.
В каждом языке Арнольда, даже при изменении значений переменных A и B, определенные физические характеристики поведения джозефсоновских контактов остаются постоянными. Однако в пространстве, разделяющем эти языки, наблюдается резкое, скачкообразное изменение указанных физических параметров. По мнению авторов работы, было бы полезно установить границы упомянутых областей фазового захвата.
Геометрическое устройство этих границ отличается сложностью. Игорь Нетай отмечает: «Применение комплексных коэффициентов в уравнении, используемом для описания границ Гойна, показывает, что они представляют собой совокупность всего четырех аналитических комплексных многообразий». Данная работа стала первым исследованием, в котором это удалось установить, и в теоретическом плане это существенно облегчает математическое описание границ языков Арнольда, что является весьма важным достижением.
Существенным результатом работы стало исследование семейств очевидных решений (полиномиальных решений) уравнения Гойна. Решения уравнений Гойна параметризуются точками, которые представляют собой алгебраические кривые – множества, определяемые многочленами от двух переменных. Авторы, используя вычислительные методы, определили род алгебраических кривых, параметризующих явные решения уравнения Гойна. Род алгебраической кривой – это показательё римановой поверхности, это также значительно облегчает математическое описание физических свойств джозефсоновских контактов с помощью уравнений Гойна.