Scienty

В последнее время интернет пестрит сообщениями: «Создание симуляции Вселенной невозможно», «Новое исследование полностью опровергает теорию симуляции». Причиной стала публикация, в которой авторы попытались доказать, что мы не находимся внутри компьютерной программы. Naked Science объясняет, в чем суть этой новости и возможно ли на самом деле доказать, что «матрицы не существует».

Статья «Последствия неразрешимости в физике для теории всего», опубликованная недавно опубликованная в Journal of Holography Applications in Physics группой во главе с Миром Файзалом, навела шороху в Рунете. Шутка ли: авторы утверждают, что Вселенная не может быть компьютерной симуляцией.

Это не просто мимолетное упоминание: основная мысль отражена в аннотации ( abstract) в статье представлены ключевые итоги исследования, однако она изобилует преувеличенными выражениями о «неалгоритмируемом понимании», отсылками к значительным теоремам и содержит возвышенное утверждение о том, что опровержение вычислительных моделей не влечет за собой крах научного знания».

Прежде чем перейти к подробностям, кратко обозначим суть. Авторы утверждают, что всеобъемлющая «теория всего», объединяющая все физические законы, должна включать в себя результаты, которые невозможно рассчитать на компьютере. Исходя из этого, они заключают, что мир не является компьютером. Означает ли это, что исследователи раскрыли нам фундаментальную истину о Вселенной? К сожалению, ситуация гораздо сложнее. Во-первых, все не так просто, во-вторых, все не так.

Что такое теория всего

Прежде всего, необходимо понять, что представляет собой теория всего. В современной физике существуют две теории, которые стремятся описать основополагающие законы, определяющие материю, пространство и время.

Первая — это Стандартная модель физики элементарных частиц, которая Naked Science подробно рассказывал. Она описывает поведение частиц и все силы, действующие между ними, за исключением гравитации. Стандартная модель успешно прошла проверку на соответствие экспериментальным данным, и на данный момент известен лишь один достоверный экспериментальный результат, не согласующийся с ней — наличие массы у нейтрино.

Второй теорией является Общая теория относительности (ОТО), которая рассматривает гравитацию как особенность пространства-времени. Она также успешно подтверждена экспериментами и наблюдениями, начиная от хронометров на самолетах и заканчивая детекторами гравитационных волн. Однако и у нее имеются недостатки. К примеру, в центре черной дыры кривизна пространства-времени стремится к бесконечности. В таких условиях теория оказывается неработоспособной: ОТО не способна объяснить, что происходит при бесконечной кривизне.

Обе теории заслуживают внимания, однако имеют недостатки. Их главная проблема заключается в несовместимости. Стандартная модель базируется на квантовых принципах, в то время как Общая теория относительности – нет. Предпринимаемые попытки разработки квантовой теории гравитации оказываются безуспешными. Вокруг этой темы существует множество предположений, но работоспособной теории пока не создано. Теория, которая потенциально сможет объединить Стандартную модель и Общую теорию относительности, получила название «Теория всего». Ученые-физики рассчитывают, что она позволит устранить недостатки обеих теорий.

Сделать из науки игру

Сейчас мы поясним, что подразумевается под термином «неразрешимость», который упоминается в недавней публикации. Одновременно проясним, что на самом деле установил Гедель, имя которого часто используют те, кто склонен к философским рассуждениям, зачастую не совсем корректно.

В начале XX века математиков начала волновать мысль о возможных скрытых ошибках и противоречиях в их работах. Этому способствовало несколько факторов. В частности, математики стали оперировать весьма абстрактными объектами, не всегда понятными человеческому разуму, такими как многомерные пространства и абстрактные множества. Такой подход позволил реализовать колоссальный потенциал: в XX веке было совершено больше математических открытий, чем за все предшествующее время. Однако он сопряжён и с определёнными рисками.

Любой человек сразу увидит нелогичность в выражении «рассмотрим пятиугольный треугольник». Гораздо сложнее заметить подвох во фразе «рассмотрим множество всех множеств», хотя она столь же абсурдна. Если допустить хотя бы одно противоречие в рассуждениях, можно «доказать» что угодно. Философ и математик Бертран Рассел часто повторял: «Предположим, что дважды два равно пяти, и я смогу доказать, что вы Папа Римский».

Остро обсуждался вопрос о методах доказательства теорем и проверки этих доказательств. В дискуссиях принимали участие, вероятно, все видные математики того времени.

Выдающийся Давид Гильберт предложил новаторский подход. Его концепция заключалась в том, чтобы обеспечить простоту контроля за корректностью математических рассуждений, подобно тому, как это происходит в шахматной игре. Он предложил использовать набор правил, определяющих допустимые действия, аналогично тому, как это сделано для шахматных фигур. Каждый, кто заинтересован, может легко убедиться в соответствии хода установленным правилам.

Четыре шага к предельной ясности

Расскажем, как это работает. Первый шаг — необходимо зафиксировать алфавит теории, то есть указать символы, доступные для использования. Как правило, это латинские буквы, цифры, скобки, логические знаки и другие подобные элементы.

Шаг второй — установить, какие последовательности символов представляют собой утверждения. К примеру, утверждением является строка «Ɐ n n > 2 => n > 1». Ее смысл: любое число n, выражение, содержащее больше двух элементов, также больше единицы (логический символ Ɐ обозначает «любое»). Однако, например, строка «(((((89==» не является утверждением, это лишь бессмысленный набор символов.

Удалось выработать несложные правила, позволяющие различать осмысленные последовательности символов и бессмысленные. Эти правила столь же точны и однозначны, как правила передвижения ферзя и коня в шахматах. К примеру, скобки всегда встречаются парами, два знака «равно» не могут следовать друг за другом, и подобное.

Первые этапы нашей работы включают в себя определение языка теории. Языки могут различаться. Например, если в используемом языке присутствует символ умножения, но отсутствует символ возведения в степень, то утверждение «для любого целого числа n верно n ² × n = n ³» придется записывать как «Ɐ n n × n × n = n × n × n». Это создает определенные сложности и затрудняет понимание, однако, технически осуществимо. Но как выразить утверждение «для всех целых чисел» на столь ограниченном языке a, n, m верно a ⁿ × a ^m = a ^n+m»? Никак. Язык, лишенный возможности возведения в степень, попросту не может передать эту идею. Мы не в состоянии использовать знак умножения n раз, если речь идет о всех возможных n сразу.

Язык теории определяет, какие высказывания возможно сформулировать, а какие – нет. Существуют языки, обладающие большей и меньшей выразительностью. Этот важный факт стоит запомнить, он нам пригодится.

Определившись с языком, мы делаем третий шаг: определяем, какие положения языка станут аксиомами нашей теории.

И, наконец, четвертый и последний шаг: устанавливаем критерии, которым должны соответствовать последовательности утверждений, чтобы мы признали их доказательствами. Естественно, мы не стремимся перечислить все возможные доказательства, поскольку их количество не ограничено. Нам необходимо лишь определить принципы, которым должна подчиняться цепочка утверждений, начинающаяся с аксиом и приводящая к некоторому заключению X, чтобы считаться доказательством утверждения X. Безусловно, эти принципы вытекают из фундаментальных законов логики.

Механический математик

Понимание того, для чего предприняты эти усилия, важно. Установив строгие, четко определенные, механические правила, мы исключили возможность использования софизмов, устранили двусмысленность и избежали противоречий.

Даже человек, не обладающий знаниями в математике, может убедиться в корректности формального доказательства, просто следуя установленному перечню правил. Для того, чтобы определить, передвинул ли конь на шахматной доске буквой «Г», не требуется уметь хорошо играть. В настоящее время этот метод известен как формализация, то есть создание формальной теории. Он применяется для автоматизированной проверки математических доказательств с помощью компьютеров.

О компьютерах кстати тоже стоит поговорить. Формальная теория предоставляет, на первый взгляд, надежный метод для доказательства теорем. Например, как доказать теорему Ферма? Сначала необходимо представить ее на языке формальной теории. Затем можно последовательно перебирать все возможные цепочки утверждений в алфавитном порядке. В конечном счете, одна из них окажется доказательством теоремы Ферма. И если бы теорема Ферма была неверна, то в конечном итоге мы бы обнаружили доказательство обратного ей утверждения.

Когда и как поздно могут работать самые передовые современные суперкомпьютеры? Безусловно, Солнце может погаснуть до того, как они завершат свои вычисления. Вероятность обнаружения доказательства методом полного перебора — лишь теоретическая возможность. Однако, принципиально важно, что для каждой доказуемой теоремы существует алгоритм, способный найти ее доказательство.

Гедель делает больно

Что подразумевается под фразой «рано или поздно одна из цепочек станет подтверждением теоремы Ферма»? Мы не определили, какие аксиомы будут использоваться. Создадим упрощенную теорию с языком, позволяющим записать теорему Ферма, и единственной аксиомой: «Ɐ n n = n» (она утверждает, что любое число совпадает с самим собой). Из такой, как она сама выражается, аксиоматики невозможно вывести даже таблицу умножения, не говоря уже о теореме Ферма.

Как поведет себя алгоритм, который последовательно просматривает бесконечный набор последовательностей, сформированных из положений нашей теории, в стремлении найти доказательство или опровержение теоремы Ферма? Он будет работать непрерывно и не придет к какому-либо заключению, что, по мнению программистов, равносильно зацикливанию.

Несложно предположить, и это можно строго доказать, что ни один алгоритм, основанный на правилах нашей упрощенной теории, не способен доказать теорему Ферма. Дело в том, что невозможно найти решение там, где его не существует. Эта задача попросту не имеет решения в рамках нашей теории.

Зачем была разработана столь странная теория, содержащая единственную и не имеющую практической ценности аксиому? Чтобы продемонстрировать неумолимый факт, известный как теорема Гёделя о неполноте. Согласно ей: в любой формальной теории, язык которой достаточно выразителен, найдутся недоказуемые и неопровержимые утверждения. Их можно записать на языке теории, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из ее аксиом и по ее правилам доказательств. Причем неважно, что это за аксиомы и правила. Главное, чтобы они не противоречили друг другу.

Вероятно, столь мощные языки необходимы только для решения наиболее сложных задач высшей математики? Однако это не так. Даже язык арифметики, науки, изучающей операции с целыми числами, обладает достаточной выразительностью. Конечно, его можно упростить, но в этом случае мы не сможем передать на нем многие важные математические утверждения (в качестве примера можно вспомнить понятие степени).

О каких же загадочных высказываниях, не поддающихся доказательству или опровержению, идет речь в арифметике? Прежде всего, необходимо уточнить, какую именно формализацию мы рассматриваем. Существуют различные варианты формальной арифметики, однако наиболее распространенным является арифметика Пеано. Для нее наиболее известным примером служит теорема Гудстейна.

Рубен Гудстейн представил доказательство этой теоремы в 1944 году. Спустя десятилетия математики пришли к выводу, что эту теорему невозможно ни доказать, ни опровергнуть, используя арифметику Пеано, хотя ее можно выразить на ее языке. (В формулировке теоремы Гудстейна не содержится ничего сложнее возведения в степень, однако она достаточно объемна. Поэтому мы не будем ее приводить, а сошли бы читателя хотя бы к википедии).

Как Гудстейн смог доказать теорему, учитывая, что это выглядело невозможным? Объяснение заключается в том, что математик не использовал методы, допустимые в арифметике Пеано. Он работал не в рамках формальной теории, а, подобно большинству людей, выстраивал свои рассуждения на естественном языке – в его случае, на английском).

При проведении своих исследований ученый прибегнул к методам убедительности, выходящим за рамки арифметических принципов Пеано. Тем не менее, эти методы также допустимы, по крайней мере, так считают большинство математиков.

Мозг сильнее компьютера?

Действительно ли это указывает на то, что Гудстейн использовал некое «неалгоритмируемое понимание» в понимании Файзала и его коллег? Нет, это не так. Доказательство, представленное Гудстейном, легко поддается формализации в рамках более развитой теории, чем арифметика Пеано — а именно, в арифметике второго порядка. Значит, стоит ли использовать аксиоматику Пеано, и следует ли фиксировать все доказательства в арифметике второго порядка? К сожалению, теорема Геделя утверждает, что и там возникнут собственные неразрешимые задачи, и так будет продолжаться бесконечно.

Идея о «неалгоритмируемом понимании» вызывает много споров. Многие философы и ученые полагают, что человеческое мышление – это реализация чрезвычайно сложного и многогранного алгоритма. Они утверждают, что человек не может осознать и тем более зафиксировать алгоритм, определяющий его мышление, однако этот алгоритм существует.

Десятилетиями продолжаются дискуссии о том, является ли это правдой. Однако, выход человеческого мышления за пределы конкретной формальной теории, будь то арифметика Пеано или пока еще не разработанная «теория всего», не является доказательством «неалгоритмируемого понимания».

Истина, нарезанная соломкой

Не всегда требуется формализация всей области математики, например арифметики. Достаточно формализовать доказательство конкретной теоремы. Затем проверку этого доказательства можно передать компьютеру. Среди математиков есть те, кто увлекается подобной работой. Тем не менее, даже для несложных теорем это крайне трудоемкий и затяжной процесс.

Программисты прекрасно осведомлены о том, какой сложный процесс — преобразование человеческой мысли в код, понятный компьютеру. Поэтому большинство математиков не уделяют внимания формализации и автоматизированной проверке своих результатов. Им достаточно, чтобы доказательство было понятно коллегам, проверено и одобрено ими. Что касается новых результатов, то далеко не все теоремы, представленные в учебниках, уже формализованы и проверены с помощью компьютеров. Впрочем, они многократно проверялись людьми, поэтому в их достоверность никто не сомневается.

Проверка каждой доказанной теоремы в формальном плане представляется чрезвычайно сложной задачей. Теорема Геделя указывает на наличие неразрешимых проблем при формализации масштабных математических теорий. Стремление сделать всю математику столь же понятной, как шахматы, оказалось нереальным. Однако опасения по поводу возможности возникновения противоречий также отступили: математики приобрели навыки осторожного обращения с сложными абстрактными концепциями, которые ранее ставили в тупик предыдущие поколения. В настоящее время формализация теорем является лишь небольшим, дополнительным направлением в математике.

Физики нарушают правила

В то время как математики в XX веке в основном потеряли интерес к формализации, физики только начали проявлять к ней заинтересованность. Математики в течение многих лет углублялись в поиск способов сделать свои строгие выводы еще более точными, в то время как физики использовали математические концепции, как выразительно заметили, по аналогии с тем, как повар использует картофель.

В рамках Стандартной модели остается немало приемов, которые с точки зрения математики выглядят весьма сомнительно. Математически эта формула кажется недопустимой, но мы все равно будем ее использовать. Нам она необходима, поскольку экспериментальные данные подтверждают ее справедливость.

Для физиков решающее значение имеет практический опыт, а не математическая точность. Если экспериментальные данные соответствуют формуле, не столь важно, каким образом она была получена, даже если она появилась в результате сновидения. Вопрос о том, как вывести ее, не нарушая математических законов, оставим на будущее (но это не гарантировано).

К завершению XX столетия темпы развития теоретической физики снизились. Замедление прогресса в создании новых физических теорий, вероятно, подтолкнуло некоторых физиков к изучению формализации, теоремы Геделя и других аспектов, характерных для «чистой математики». Возник целый ряд работ, авторы этих работ представляли собой формализацию той или иной физической задачи и демонстрировали ее принципиальную неразрешимость в рамках предложенной формализации.

И ОТО, и квантовая теория поля, являющиеся основой Стандартной модели, также не избежали критики. Группа, возглавляемая Файзалом, опирается на эти данные и справедливо отмечает: даже в теории всего, при ее создании и формализации, неизбежно возникнут неразрешимые положения. Безусловно, они будут найдены. Но что это дает? Какова связь этого вопроса с тем, является ли Вселенная компьютерной симуляцией? Рассмотрим заключительный и самый смелый поворот в рассуждениях авторов.

Следуй за белым кроликом

На первый взгляд, логика кажется довольно простой. Предположим, что мы существуем в «матрице». Мировой компьютер, подобно любому другому, функционирует по определенному алгоритму. Этот алгоритм определяет поведение каждой частицы во Вселенной. С другой стороны, давайте рассмотрим формальную теорию всего. Она описывает наиболее фундаментальные физические принципы. Все остальные законы, такие как закон Ома или закон Архимеда, являются их следствием, приложениями и частными случаями.

Авторы полагают, что алгоритм вселенского компьютера должен находить решение для любого вопроса, выраженного на языке теории всего. Однако, старик Гедель не позволяет совершать подобные действия: в любой формальной теории существуют утверждения, для которых ни один алгоритм не способен предоставить ответ о их истинности или ложности. Таким образом, мы не являемся частью компьютерной симуляции. Занавес, аплодисменты.

В чем ошибка в этом рассуждении? Авторы, к сожалению, попросту смешали теорию и практику.

Алгоритм вселенского компьютера должен быть способен рассчитать первопричину любого происшествия в мире. Это включает в себя определение результата любого эксперимента, который когда-либо сможет провести человек. Иными словами, он должен вычислить ответ на вопрос, если этот вопрос экспериментально проверяем. Это очень важное «если».

Доктор Умникс разработал и формализовал теорию квантовой гравитации. Однако профессор Скрупулез выявил, что в рамках формальной теории Умникса не находится ответа на вопрос о наличии пушка у кракозябры. В ходе эксперимента, проведенного над кракозяброй, Скрупулез подтвердил, что она действительно пушистая.

В итоге мы получим новые сведения о Вселенной, в частности, о том, что она не всегда соответствует формальной теории Умникса. Это связано с тем, что она предоставляет ответ на вопрос, который не поддается решению в рамках данной теории.

Возможно ли, что наша Вселенная является симуляцией? Конечно. Однако для этого алгоритмы симуляции должны оперировать чем-то более масштабным, чем доказательства, допустимые в теории Умникса. Это позволит решить проблему кракозябла. Подобно тому, как арифметика второго порядка доказывает теорему Гудстейна, которая недоказуема в арифметике Пеано.

Через пятьдесят лет доктор Мудрикс может предложить теорию, которая разрешит проблему кракозябр. Профессор Дотошнов, его коллега, обнаружит и проверит экспериментальным путем новый неразрешимый вопрос, например, касающийся бармаглота. Какие последствия это повлечет? Снова возникает дилемма: либо Вселенная не является симуляцией, либо механизм этой симуляции превосходит как теорию Умникса, так и теорию Мудрикса.

Какие бы новые эксперименты мы ни проводили, какие бы теории ни разрабатывали, мы не сможем полностью устранить подобные дилеммы. Возможно использование формальной теории для доказательства её неспособности предсказать результат эксперимента. Однако доказать, что результат эксперимента принципиально невычислим ни в одной формальной теории, невозможно. Это обусловлено тем, что количество проведенных экспериментов всегда будет ограничено.

В основе работы Вселенной, по сути, можно добавить необходимое количество строк, например, «кракозябры в лаборатории профессора Скрупулеза всегда должны быть пушистыми», и тогда этот алгоритм будет идеально соответствовать всем имеющимся экспериментальным данным. Сложно принять, что Вселенная подчиняется столь причудливым законам, однако и доказать обратное не представляется возможным.

Окончательная истина?

Действительно ли теории Умникса и Мудрикса имеют недостатки? Допустим, что к 2300 году Единый Разум Земли, объединивший в себе все возможности искусственного и естественного интеллекта планеты, разработал Подлинную теорию всего. Эта формализованная теория дает ответы на все вопросы, которые когда-либо могут быть проверены опытным путем. Она позволяет предсказать результаты любых событий, произошедших или предстоящих.

Согласно своей теории, сверхразум выявил алгоритмы, определяющие работу симуляции Вселенной (хотя, стоит отметить, что он не сможет получить окончательного подтверждения их подлинности).

В рамках формальной и окончательной Теории Всего возможны ли неразрешимые задачи? Да. Даже обладающий сверхвысоким интеллектом не сможет изменить математическую истину, установленную Геделем. Как это соотносится с гипотезой о том, что Вселенная является симуляцией? Необходимо просто утверждать, что это задачи, касающиеся событий, которые никогда не происходили и не произойдут нигде. Следовательно, космическому компьютеру нет необходимости их решать.

Могли ли люди, не обладающие достаточными знаниями, представить себе возможность произошедшего? Они даже разработали перечень задач, которые, казалось, не имеют решения в рамках общей теории относительности или квантовой теории поля? Подобно тому, как когда-то люди верили в плоскую Землю, затем в шарообразную, а затем в эллипсоидальную форму планеты.

На данный момент мы осознаем, что все вышесказанное – это лишь приблизительные представления о реальности. Каждое из них точнее предыдущего, однако Земля имеет форму, отличающуюся от идеальной, для которой существует специальный термин «геоид». Это не означает, что автор не ценит общую теорию относительности, Стандартную модель или пока что гипотетическую «теорию всего». Именно таким образом устроены все физические теории, когда-либо созданные людьми.

В сущности, это лишь модели, позволяющие прогнозировать результаты экспериментов с достаточной для исследователя точностью. Если и существует настоящая теория всего, то мы пока не представляем, каким образом она будет устроена, и, тем более, какие вопросы останутся в ней без ответа.

Опровергнуть предположение о том, что Вселенная является компьютерной симуляцией, невозможно. Она не поддается опровержению, подобно гипотезе о возникновении Вселенной всего секунду назад в текущем виде – с окаменелостями динозавров в музеях и сформировавшимися воспоминаниями в наших головах. То же самое относится и к гипотезе о том, что весь мир – это лишь ваша личная иллюзия. Как и к множеству других необычных теорий, из которых до сих пор не было получено ни одного значимого, поддающегося проверке факта.

Идея о том, что наша Вселенная является симуляцией, не имеет убедительных опровержений, но и не имеет практической ценности – по крайней мере, до тех пор, пока кто-нибудь не сможет проникать в другие симуляции или управлять космическим компьютером.

Сухой остаток

Обобщим сказанное в этом продолжительном и, вероятно, непростом тексте.

В любой строгой теории, обладающей выразительным языком, существуют неразрешимые задачи. Этот факт, установленный в первой половине XX века, сейчас является общеизвестным. Если физическую теорию представить в формализованном виде, подобные задачи там возникнут.

Физиков это совершенно не волнует. Дело в том, что физики при построении своих теорий обычно выходят за рамки формальных инструментов. Речь даже не о добровольном ограничении формалистов, а о том, что физики иногда допускают отступления от базовых математических принципов, чтобы создать работающую модель. Под работающей подразумевается модель, способная точно прогнозировать результаты экспериментов.

Обнаружение неразрешимых задач в формальных физических теориях не дает информации о возможности того, что Вселенная является компьютерной симуляцией.

Появление статьи, претендующей на ответ на фундаментальный вопрос о жизни, Вселенной и всем остальном, в «Журнале применения голографии в физике», должно вызвать подозрения. Размещение работы в издании, не специализирующемся на данной тематике, указывает на то, что ее не приняли в профильный журнал.

К сожалению, не всегда можно доверять авторитетности публикации в научном журнале.