Кристаллы славятся во всём мире своей красотой и элегантностью. Однако, несмотря на внешнюю безупречность, их микроструктура может быть весьма сложной, что создает трудности в математическом моделировании.
Впрочем, есть и те, кто готов принять этот вызов. В статье, опубликованной в Royal Society Open Science, исследователи из Университета Осаки использовали дифференциальную геометрию, чтобы дать точное, строгое и единое описание механики кристаллов и их дефектов.
В идеальном кристалле атомы располагаются в строгом соответствии с периодическим расположением. Однако при детальном изучении выясняется, что большинство кристаллов имеют структурные несовершенства. В их структуре присутствуют незначительные дефекты, такие как пропуски атомов или избыточные связи. Эти дефекты оказывают существенное влияние на механические свойства: они могут приводить к разрушению материала или, наоборот, использоваться для повышения его прочности. Следовательно, изучение дефектов и связанных с ними процессов имеет большое значение для исследователей.
«Дефекты проявляются в разнообразных формах, — отмечает ведущий автор исследования Сюнсукэ Кобаяси. — К ним относятся, например, дислокации, возникающие из-за нарушения трансляционной симметрии, и дисклинации, связанные с нарушением вращательной симметрии. Разработка единой математической теории, охватывающей все эти виды дефектов, представляет собой сложную задачу».
Предыдущие модели не смогли объяснить разницу между дислокациями и дисклинациями, что указывает на необходимость пересмотра теории. Для решения этих проблем команде потребовались новые математические инструменты, основанные на языке дифференциальной геометрии.
«Эта сложная система описания явлений, дифференциальная геометрия, обладает особой элегантностью, — отмечает Рюичи Таруми, старший автор исследования. — С ее помощью простые математические операции позволяют выявить эти эффекты и выделить общие черты между, на первый взгляд, совершенно разными дефектами».
Благодаря использованию формализма многообразий Римана — Картана, исследовательской группе удалось описать топологические характеристики дефектов и установить связь между дислокациями и дисклинациями. До этого момента существовали лишь эмпирические данные, а точные математические представления оставались неясными. Также ученым удалось получить аналитические формулы, определяющие поля напряжений, возникающие под воздействием этих дефектов.
Команда рассчитывает, что их метод, основанный на геометрических принципах, для описания поведения кристаллов, в конечном итоге побудит исследователей и разработчиков к созданию материалов с заданными характеристиками. Это достигается за счёт использования дефектов, например, дислокаций, которые повышают прочность. Кроме того, эти результаты демонстрируют, как элегантность математики способна помочь в постижении природы.
[Фото: Shunsuke Kobayashi, Katsumi Takemasa и Рюити Таруми / Университет Осаки ]