Учёные ВМК МГУ изучили математическую модель с параметром, входящим в граничные условия. Такой подход применим к задачам о колебаниях механических систем, распространении волн и теплообмене. Получены условия существования базисных систем собственных функций, что важно для теории спектральных задач. Исследование опубликовано в… журнале Lobachevskii Journal of Mathematics.
Научные исследования и технические разработки все чаще используют математические модели для описания явлений в физике, инженерных дисциплинах и вычислительной технике. В этих моделях часто применяют уравнение Бесселя для анализа колебаний, теплопередачи и электромагнитных волн. Присутствие спектрального параметра в граничных условиях задач приводит к существенному усложнению математического анализа.
Ученые ВМК МГУ изучили спектр дифференциального оператора с граничным условием, включающим квадрат спектрального параметра. Было установлено существование базисных систем собственных функций, что существенно для анализа устойчивости и разработки численных методов решения подобных уравнений.
Работа предоставила характеристическое уравнение, описывающее спектр оператора – набор значений параметра, при которых задача имеет собственные функции. Установлено, при каких условиях эти функции образуют базис в пространстве функционального анализа. Базисность позволяет представить любую функцию этого пространства как сумму собственных функций, что упрощает практические вычисления.
Исследователи обратили особое внимание на ситуацию, когда у оператора имеются спектральные значения с кратностью два. Для такого случая
предложено использовать специальную систему функций, которая сохраняет важные математические свойства и обеспечивает правильную обработку подобных задач.
Результаты применяются в инженерных и научных задачах. Спектральные методы востребованы при проектировании механических конструкций, анализе колебательных систем, моделировании тепловых процессов и исследовании распространения волн в разных средах.
Эти исследования могут пригодиться при создании новых систем виброизоляции, изучении свойств упругих материалов и анализе распространения сигналов в сложных инженерных структурах, например, в волноводах и антеннах.
Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов способствует более глубокому пониманию работы сложных физических систем. Полученные результаты могут быть полезны как в фундаментальной математике, так и в практических областях, где необходимы точные методы анализа. Анна Холомеева.
Информация предоставлена пресс-службой МГУ
Источник изображения: Ольга Мерзлякова / «Научная Россия».