В МГУ совместно с сотрудниками Тамбовского государственного университета разработали усовершенствованные методы Ньютона и Гаусса–Ньютона для эффективного решения задач с кусочно-гладкими функциями. Новые подходы гарантируют глобальную сходимость алгоритмов и применимы в сложных инженерных и экономических моделях. Работа опубликована в журнале. «Вестник российских университетов. Математика».
Задачи оптимизации современного мира часто содержат уравнения с кусочно-гладкими функциями. Такие функции состоят из частей гладкости с возможными точками разрыва гладкости или другими особенностями. Их можно встретить в моделях экономических процессов, управлении сложными системами, анализе данных и других областях. Традиционные методы оптимизации, такие как классические алгоритмы Ньютона, затрудняются при работе с такими функциями из-за их сложности.
Ученые Вычислительного математического центра МГУ разработали новый метод решения задач с кусочно-гладкими функциями. Метод основан на модификации методов Ньютона и Гаусса–Ньютона, которые обеспечивают устойчивую работу алгоритмов при сложных ограничениях и особенностях функции.
В качестве ключевого нововведения введено использование страховочных шагов. В ситуациях, когда классический шаг метода Ньютона невозможен, алгоритм переходит на градиентные шаги. Это сохраняет направление движения алгоритма к решению и предотвращает остановки в точках, где традиционные методы теряют эффективность.
Алгоритмы содержат процедуру одномерного поиска, регулирующую шаг для достижения глобальной сходимости.
Нами разработаны методы, позволяющие решать задачи, в которых традиционные подходы оказываются неэффективными или приводят к неверным результатам. Такой подход является важным шагом в анализе реальных систем, — подчеркнул профессор кафедры исследования операций ВМК МГУ. Алексей Измаилов.
Анализ показал, что предложенные методы гарантируют глобальную сходимость алгоритмов, то есть решение найдется независимо от начальной точки. При этом, если решение отвечает естественным предположениям, скорость сходимости может быть сверхлинейной или даже квадратичной, делая метод особенно эффективным.
Результаты исследования востребованы в разных сферах. Экономика получит инструменты для анализа сложных систем с ограничениями. Инженерия сможет использовать методы для управления системами с нелинейными характеристиками. Машинное обучение получит подходы для оптимизации алгоритмов с кусочно-гладкими функциями ошибки.
Новые методы эффективны благодаря способности обрабатывать фрагментированные и гладкие функции, а также своей приспособляемости к разным задачам.
Источник информации: ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Источник фото: ru.123rf.com