В 1968 году американский математик Пол Чернов сформулировал теорему, которая позволяет приблизительно рассчитывать полугруппы операторов — сложных, но при этом полезных математических объектов, используемых для описания изменений состояний многочастичных систем с течением времени. Метод предполагает последовательность приближений, каждый шаг которых повышает точность результата. Однако до недавнего времени оставалось неясным, как быстро эти шаги приводят к решению и какие факторы определяют скорость этого процесса. Математики Олег Галкин и Иван Ремизов, работающие в нижегородском кампусе НИУ ВШЭ, впервые предложили полное решение этой задачи. Их работа открывает возможности для создания более точных вычислений в различных научных областях. Результаты опубликованы в престижном журнале Israel Journal of Mathematics (Q1).
Для решения множества задач в математике и теоретической физике требуется точное определение сложных и специфических величин, таких как скорость остывания чашки кофе, распространение тепла в двигателе или поведение квантовой частицы. Развитие исследований в области квантовых компьютеров, квантовых каналов передачи данных, случайных процессов и других значимых для современной науки направлений предполагает необходимость вычисления полугруппы операторов – математического объекта, играющего ключевую роль в подобных расчетах. В основе этих вычислений лежит экспонента – одна из важнейших математических функций, представляющая собой число, возведенное в степень, где основанием является число е (приблизительно равное 2,718).
При работе с чрезвычайно сложными системами, которые описываются неограниченными операторами, традиционные способы вычисления экспоненты (полугруппы операторов) оказываются неэффективными. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил изящное решение этой задачи — специальный математический метод, который сегодня известен как аппроксимации Чернова или черновские аппроксимации полугрупп операторов. Этот метод позволял приближенно определять требуемые значения экспоненты, последовательно создавая все более точные математические модели.
Метод Чернова обеспечивал сходимость последовательных приближений к верному ответу, однако не определял скорость этого процесса. Иными словами, оставался неясным вопрос о количестве итераций, необходимых для достижения требуемой точности. Эта непредсказуемость затрудняла практическое использование метода.
Математики, работающие в нижегородском кампусе Высшей школы экономики Олег Галкин и Иван Ремизов решили эту задачу, над которой многие десятилетия бились ученые по всему миру. Им удалось получить общие оценки скорости сходимости, то есть описать, как быстро приближенные значения сходятся к точному результату в зависимости от выбранных параметров.
«Ситуация напоминает кулинарный рецепт. Пол Чернов обозначил последовательность действий, однако не уточнил, как правильно выбирать оптимальные компоненты — вспомогательные функции Чернова, которые гарантируют наилучший результат. В связи с этим, невозможно было точно спрогнозировать время приготовления. Мы усовершенствовали этот рецепт и выяснили, какие компоненты наиболее эффективны, чтобы сделать метод более быстрым и продуктивным», — рассказал Иван Ремизов, автор исследования, также является старшим научным сотрудником Добрушинской лаборатории Института проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН и старшим научным сотрудником Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ.
Галкин и Ремизов продемонстрировали, что метод Чернова способен работать существенно быстрее при грамотном выборе вспомогательных функций Чернова. При благоприятном подборе этих функций точность приближения возрастает на начальных этапах вычислений. Кроме того, математики получили строгое теоретическое обоснование: при условии, что функция Чернова и приближаемая полугруппа обладают идентичными многочленами Тейлора порядка k, и функция Чернова незначительно отклоняется от своего многочлена Тейлора, разница между приближенным и точным значениями сокращается не менее чем пропорционально 1/n^k, где n – номер шага, а k – любое натуральное число, характеризующее качество выбранных функций.
Ученым удалось не только определить наиболее эффективные компоненты, но и впервые точно рассчитать, насколько ускоряется процесс приготовления блюда при использовании этих оптимальных ингредиентов. Математическая формула, подобранная специалистами, работает следующим образом: на каждом этапе приготовления результат становится все более точным, а ошибка уменьшается пропорционально величине, обратной n в степени k, где n – номер этапа, а k – показатель, зависящий от качества используемых ингредиентов. Более высокое значение k означает более быстрое достижение желаемого результата.
Благодаря работе отечественных математиков Олега Галкина и Ивана Ремизова, впервые удалось найти решение проблемы, которая оставалась нерешенной на протяжении более чем полувека. Этот результат проясняет ситуацию и открывает новые возможности, позволяя сформулировать актуальные задачи, требующие дальнейшего решения. Несмотря на то, что исследование имеет теоретическую направленность, его значение выходит за пределы математики. Подобные достижения нередко служат фундаментом для создания новых численных методов, применяемых в квантовой механике, при моделировании теплопередачи, в теории управления и в других областях, где исследуются сложные процессы, зависящие от времени.
Теорема Олега Галкина и Ивана Ремизова будет представлена в онлайн-формате 5 июля на Международной конференции «Теория функций и ее приложения». Запись доклада авторов и тезисы будут размещены на веб-сайте конференции.
Данная работа была осуществлена при содействии Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, при поддержке гранта Российского научного фонда № 23-71-30008 « Изучение диссипативных динамических процессов в системах с бесконечным и конечным числом степеней свободы, создание математических моделей, описывающих механические и гидродинамические явления ».
Информация предоставлена пресс-службой НИУ ВШЭ